Un co-ensemble est un sous-ensemble de type spécifique d'un groupe mathématique. Par exemple, on pourrait envisager l'ensemble des multiples entiers de 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, qui peut être représenté comme 7Z. Ajout de 3 à chaque numéro génère l'ensemble {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, dont les mathématiciens décrivent comme 7Z + 3. Cette dernière série est appelée la co-ensemble de 7Z générée par 3.
Il ya deux propriétés importantes de 7Z. Si un nombre est un multiple de 7, est donc son inverse additif. L'inverse additif de 7 -7 est, à l'inverse additif de 14 -14 est, et ainsi de suite. Aussi, en ajoutant un multiple de 7 à un autre multiple de 7 donne un multiple de 7. Les mathématiciens décrire cela en disant que les multiples de 7 sont «fermé» en vertu de l'opération d'addition.
Ces deux caractéristiques expliquent pourquoi 7Z est appelé un sous-groupe des entiers sous l'addition. Seuls les sous-groupes ont cosets. L'ensemble des nombres cubes, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, n'a pas de classes à la même façon que 7Z, car il n'est pas fermé sous l'addition: 1 + 8 = 9 et 9 n'est pas un Numéro cube. De même, l'ensemble de tous les nombres positifs même, {2, 4, 6, ...}, n'a pas cosets car il ne contient pas inverses.
La raison de ces dispositions est que chaque nombre doit être dans exactement un ensemble complémentaire. Dans le cas de {2, 4, 6, ...}, 6 se présente sous la co-ensemble généré par 4 et se présente sous la co-ensemble généré par 2, mais les deux ne sont pas co-ensembles identiques. Ces deux critères suffisent pour assurer que chaque élément est dans exactement un ensemble complémentaire.
Cosets exister dans n'importe quel groupe, et certains groupes sont beaucoup plus compliquées que les nombres entiers. Un groupe utile que l'on pourrait considérer est l'ensemble de toutes les manières de déplacer un carré sans changer la région qu'il couvre. Si un carré est tourné de 90 degrés, il n'y a aucun changement apparent dans la forme. De même, il peut être retourné verticalement, horizontalement ou en diagonale à travers soit, sans changer la région des couvercles carrés. Les mathématiciens appellent ce D4 groupe.
D4 dispose de huit éléments. Deux éléments sont considérés comme identiques si elles partent tous les coins au même endroit, donc la rotation des aiguilles d'une montre carrée à quatre reprises est considéré comme le même que celui de ne rien faire. Dans cet esprit, les huit éléments peuvent être notée e, r, r2, r3, v, h, jj et jj. Le "e" se réfère à ne rien faire, et «r2» indique faire deux rotations. Chacun des quatre derniers éléments se réfère à renverser la place: verticalement, horizontalement ou le long de ses diagonales vers le haut ou vers le bas-oblique-.
Les entiers sont un groupe abélien, ce qui signifie son fonctionnement répond à la loi commutative: 3 + 2 = 2 + 3. D4 n'est pas abélien. La rotation d'un carré et en la retournant ensuite ne pas se déplacer horizontalement dans les coins de la même manière que la retournant et en le tournant.
Lorsque vous travaillez dans des groupes non commutatifs, les mathématiciens utilisent typiquement un * à décrire le fonctionnement. Un peu de travail montre que la rotation de l'équerre, puis en la retournant à l'horizontale, r * h, est la même que la retournant dans sa diagonale vers le bas. Ainsi r * h = dd. Retournement de la place et en le tournant est équivalente à la retournant dans sa diagonale vers le haut, donc r * h = du.
Les questions d'ordre dans D4, donc il faut être plus précis dans la description de cosets. Lorsque vous travaillez dans les entiers, l'expression «le co-ensemble de 7Z générée par 3" est sans équivoque, car il n'a pas d'importance si 3 est ajouté à gauche ou à droite de chaque multiple de 7. Pour un sous-groupe de D4, cependant, les différents ordres créera cosets différentes. Sur la base des calculs de décrire plus haut, r * H, la classe à gauche de H engendré par r-est égal à {r, jj} mais H * r = (r, du}. L'exigence qu'aucun élément se trouver dans deux classes à différents ne s'applique pas lorsque l'on compare classes à droite de classes à gauche.
Les classes à droite de H ne correspondent pas à ses classes à gauche. Les sous-groupes de D4 ne partagent pas tous cette propriété. On peut considérer le sous-groupe R de toutes les rotations de la place, R = {e, r, r2, r3}.
Un petit calcul montre que ses classes à gauche sont les mêmes que ses classes à droite. Un tel sous-groupe est appelé un sous-groupe normal. Sous-groupes normaux sont extrêmement importantes dans l'algèbre abstraite parce qu'ils ont toujours coder l'information supplémentaire. Par exemple, les deux co-ensembles possibles de R assimiler les deux situations possibles ", la place a été retournées" et "la place n'a pas été retourné."