Presque tous les objets mathématiques peuvent être exprimés de plusieurs manières. Par exemple, la fraction 6.2 est équivalente à 5/15 et -4/-12. Une forme canonique est un schéma spécifique que les mathématiciens utilisent pour décrire les objets d'une classe donnée dans une codifié, de façon unique. Chaque objet dans la classe possède une représentation unique correspondant au modèle canonique de la forme canonique.
Pour les nombres rationnels, la forme canonique est a / b, où a et b n'ont pas de facteurs communs et b est positif. Cette fraction est généralement décrite comme étant «sa plus simple expression." Lorsque la mise en forme canonique, 2/6 devient 1/3. Si deux fractions sont égales en valeur, leurs représentations canoniques sont identiques.
Les formes canoniques ne sont pas toujours le moyen le plus commun de dénoter un objet mathématique. Bidimensionnelles équations linéaires Ax avoir la forme canonique + By + C = 0, où C est 1 ou 0. Pourtant, les mathématiciens emploient souvent la forme pente-ordonnée à l'origine - y = mx + b - lorsque vous faites des calculs de base. La forme pente-ordonnée à l'origine n'est pas canonique, elle ne peut pas être utilisé pour décrire la ligne x = 4.
Les mathématiciens trouver des formes canoniques particulièrement utile lors de l'analyse des systèmes abstraits, dans lequel deux objets peuvent sembler très différentes mais sont mathématiquement équivalentes. L'ensemble de tous les chemins fermés sur un beignet a la même structure mathématique comme étant l'ensemble de tous les couples (a, b) d'entiers. Un mathématicien peut voir facilement si cet égard, il utilise des formes canoniques pour décrire les deux ensembles. Les deux ensembles ont la même représentation canonique, de sorte qu'ils sont équivalents. Pour répondre à une question sur les courbes topologique sur un beignet, un mathématicien peut être plus facile de répondre à un équivalent algébrique question à propos de couples d'entiers.
De nombreux domaines d'étude emploient des matrices pour décrire les systèmes. Une matrice est définie par ses entrées individuelles, mais ces entrées n'ont souvent pas exprimé le caractère de la matrice. Formes canoniques aider les mathématiciens le savent, lorsque deux matrices sont liés d'une manière qui pourrait ne pas être évident autrement.
Algèbres de Boole, la structure que les logiciens utilisent pour décrire des propositions, ont deux formes canoniques: disjonctive forme normale et forme normale conjonctive. Ce sont algébriquement équivalent à l'affacturage ou l'expansion des polynômes respectivement. Un petit exemple illustre ce propos.
Le directeur d'une école secondaire pourrait dire: «L'équipe de football doit gagner l'un de ses deux premiers matches et battre nos rivaux, les Hornets, dans son troisième match, sinon l'entraîneur sera viré." Cette allégation ne peut être écrite logiquement comme (w1 + w2) * H + F, où "+" est le niveau logique "ou" fonctionnement et "*" est le niveau logique "et" fonctionnement. La forme normale disjonctive de cette expression est w1 + w2 * H * H + F. Sa forme normale conjonctive est pour (w1 + w2 + F) * (H + F). Ces trois expressions sont vraies exactement dans les mêmes conditions, de sorte qu'ils sont logiquement équivalents.
Les ingénieurs et les physiciens utilisent également des formes canoniques lors de l'examen des systèmes physiques. Parfois, un système sera mathématiquement similaire à un autre, même si elles semblent rien en commun. Les équations différentielles matricielles qui sont utilisés pour modéliser l'on pourrait être identiques à celles utilisées pour modéliser l'autre. Ces similitudes apparaissent lorsque les systèmes sont coulés dans une forme canonique, comme forme canonique observable ou contrôlables forme canonique.